Salut !
Cet exo était pas évident à faire directement, c'est pourquoi il vaut mieux maitriser la méthode 2, qui consiste à calculer le gradient de l'énergie potentielle pour chaque item, et voir si ça correspond à la force présentée dans l'énoncé
(je peux le réexpliquer si besoin).
Sinon, concernant la première méthode la correction, elle est beaucoup plus rigoureuse et longue. Il faut comprendre que pour une force de la forme
\(\overrightarrow{F}=F_x\cdot \overrightarrow{e_x}+F_y\cdot \overrightarrow{e_y}\), les composantes
\(F_x\) et
\(F_y\) sont obtenues en dérivant l'énergie potentielle
\(E_p\), soit selon
\(x\) ou
\(y\) (par définition du gradient). Donc pour retrouver la formule de l'énergie potentielle, il faut déterminer
la primitive de \(F_x\) et \(F_y\). C'est ce qu'on fait sur cette partie de la correction :
$$\left\{
\begin{array}{ll}
-\frac{\partial E_p}{\partial x}=F_x=\frac{8x}{y}+\frac{2}{x^3}\\
- \frac{\partial E_p}{\partial y}=F_y=\frac{-4x^2}{y^2}-\frac1y\\
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
E_p=-\int F_x\ dx =-(\frac{4x^2}{y}-\frac{1}{x^2}+C_y)\\
E_p=-\int F_y\ dy=-(\frac{4x^2}{y}-\ln y+C_x) \\
\end{array}
\right.
$$
Les constantes apparaissent alors : quand on dérive l'énergie potentielle selon
\(y\) pour obtenir
\(F_y\) par exemple, les termes de
\(E_p\) qui ne s'expriment que en fonction de
\(x\) sont considérés comme constants, donc ils disparaissent dans l'expression de
\(F_y\). Ainsi, quand on intègre
\(F_y,\) on rajoute cette
constante qui ne dépend que de \(x\), qu'on nomme
\(C_x\).
Pour la déterminer, on utilise une petite technique : on dérive
\(E_p\) obetnue en intégrand
\(F_y\) par-rapport à
\(x\) :
\(-\frac{\partial E_p}{\partial x}=-\left(-\frac{8x}{y}-\frac{d C_x}{dx}\right)\).
Or on sait que cela est précisément égal à
\(F_x\), qui vaut
\(F_x=\frac{8x}{y}+\frac{2}{x^3}\). On égalise ensuite les 2 expressions obtenues :
\(-\left(-\frac{8x}{y}-\frac{d C_x}{dx}\right)=\frac{8x}{y}+\frac{2}{x^3} \), donc
\(\frac{dC_x}{dx}=\frac{2}{x^3}\).
Il ne reste plus qu'à intégrer cette expression pour obtenir
\(C_x\) :
\(C_x=\int \frac{2}{x^3}=-\frac{1}{x^2}
\), et on injecte cette expression de
\(C_x\) :
\(E_p=-\frac{4x^2}{y}+\ln y+\frac{1}{x^2}
\).
Voila j'ai essayé de réexpliquer au mieux un truc assez compliqué, mais si tu ne comprends toujours pas ne t'en fais pas c'est pas du tout le plus important du cours. Il faut surtout surtout bien comprendre comment on fait pour passer d'une énergie potentielle à une force, pour ensuite éliminer les items (méthode 1).
C'est cette partie que tu dois absolument maitriser, et je peux la réexpliquer si besoin.
J'expère que c'est plus clair sinon dis moi où c'est pas précis