Exercice 1 Mécanique SPR

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mathysmu
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Exercice 1 Mécanique SPR

Message par mathysmu »

Bonjour :)

Je n'ai pas compris la méthode mathématique lors de la correction surtout au niveau des constantes.
CM Oraux 2021-2022 ;)

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Nayk
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Re: Exercice 1 Mécanique SPR

Message par Nayk »

Salut !

Cet exo était pas évident à faire directement, c'est pourquoi il vaut mieux maitriser la méthode 2, qui consiste à calculer le gradient de l'énergie potentielle pour chaque item, et voir si ça correspond à la force présentée dans l'énoncé (je peux le réexpliquer si besoin).

Sinon, concernant la première méthode la correction, elle est beaucoup plus rigoureuse et longue. Il faut comprendre que pour une force de la forme \(\overrightarrow{F}=F_x\cdot \overrightarrow{e_x}+F_y\cdot \overrightarrow{e_y}\), les composantes \(F_x\) et \(F_y\) sont obtenues en dérivant l'énergie potentielle \(E_p\), soit selon \(x\) ou \(y\) (par définition du gradient). Donc pour retrouver la formule de l'énergie potentielle, il faut déterminer la primitive de \(F_x\) et \(F_y\). C'est ce qu'on fait sur cette partie de la correction :
$$\left\{
\begin{array}{ll}
-\frac{\partial E_p}{\partial x}=F_x=\frac{8x}{y}+\frac{2}{x^3}\\
- \frac{\partial E_p}{\partial y}=F_y=\frac{-4x^2}{y^2}-\frac1y\\
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
E_p=-\int F_x\ dx =-(\frac{4x^2}{y}-\frac{1}{x^2}+C_y)\\
E_p=-\int F_y\ dy=-(\frac{4x^2}{y}-\ln y+C_x) \\
\end{array}
\right.
$$
Les constantes apparaissent alors : quand on dérive l'énergie potentielle selon \(y\) pour obtenir \(F_y\) par exemple, les termes de \(E_p\) qui ne s'expriment que en fonction de \(x\) sont considérés comme constants, donc ils disparaissent dans l'expression de \(F_y\). Ainsi, quand on intègre \(F_y,\) on rajoute cette constante qui ne dépend que de \(x\), qu'on nomme \(C_x\).
Pour la déterminer, on utilise une petite technique : on dérive \(E_p\) obetnue en intégrand \(F_y\) par-rapport à \(x\) : \(-\frac{\partial E_p}{\partial x}=-\left(-\frac{8x}{y}-\frac{d C_x}{dx}\right)\).
Or on sait que cela est précisément égal à \(F_x\), qui vaut \(F_x=\frac{8x}{y}+\frac{2}{x^3}\). On égalise ensuite les 2 expressions obtenues : \(-\left(-\frac{8x}{y}-\frac{d C_x}{dx}\right)=\frac{8x}{y}+\frac{2}{x^3} \), donc \(\frac{dC_x}{dx}=\frac{2}{x^3}\).
Il ne reste plus qu'à intégrer cette expression pour obtenir \(C_x\) : \(C_x=\int \frac{2}{x^3}=-\frac{1}{x^2}
\)
, et on injecte cette expression de \(C_x\) : \(E_p=-\frac{4x^2}{y}+\ln y+\frac{1}{x^2}
\)
.

Voila j'ai essayé de réexpliquer au mieux un truc assez compliqué, mais si tu ne comprends toujours pas ne t'en fais pas c'est pas du tout le plus important du cours. Il faut surtout surtout bien comprendre comment on fait pour passer d'une énergie potentielle à une force, pour ensuite éliminer les items (méthode 1). C'est cette partie que tu dois absolument maitriser, et je peux la réexpliquer si besoin.

J'expère que c'est plus clair sinon dis moi où c'est pas précis :P
\(\cancel{\mbox{RM physique}}\)

\({\mbox{Reconversion dans les biostats, sûrement dans la biophy et finalement dans un peu tout, mais éternellement dévoué pour la}}\) \(\mbox{Physique}\)

PS : Moi c'est Kyann, évitez de m'appeler Kylian
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mathysmu
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Re: Exercice 1 Mécanique SPR

Message par mathysmu »

Merci beaucoup !!!

Je pense avoir compris maintenant mais je crois que dériver tous les items me prendra moins de temps.
Par ailleurs, est-il possible qu'une force ne puisse pas dériver d'une énergie potentielle ? Et si oui, quand ?
CM Oraux 2021-2022 ;)

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Nayk
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Re: Exercice 1 Mécanique SPR

Message par Nayk »

Comme tu dis la 2ème méthode est plus simple.

Pour ta question, une force peut ne pas dériver d'une énergie potentielle : les forces dites conservatives (la majorité de celles avec lesquelles on travaille cette année : force d'attraction gravitationnelle, force électrostatique notamment) sont caractérisées par le fait qu'elles dérivent d'une énergie potentielle. Comme on a vu dans le cours, l'énergie mécanique du système se conserve alors au cours du temps.
Au contraire, les forces non conservatives ne dérivent pas d'une énergie potentielle. Parmi elles on retrouve surtout les forces de frottement. Dans ce cas, l'énergie du système ne se conserve pas au cours du temps, et une partie de l'énergie est alors convertie autrement qu'en énergie cinétique ou potentielle. Par exemple, sous forme de chaleur dans le cas des forces de frottement.
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