Repère en coordonnés cylindriques

[BenC]

Salut les physiciens ( ou les gens qui aiment la physique)

J'aurai besoin de votre talent pour m'aider à comprendre dans le cours, la démonstration lorsqu'on dérive la vitesse par rapport au temps (qui donne l'accélération) dans un repère en cordonnées cylindriques, c'est juste la dernière étape (après toutes les factorisations, dérivations etc) que je ne comprends pas( je vous mets entouré en pièce jointe) comment on est passé de ce qui est entouré en rouge à ce qui est entouré en bleu? Pourquoi on n'a pas laisser la formule de l'accélération tel quel avant de la modifier? C'est pas explicitement expliqué par le prof en cours... Donc si vous pouvez m'éclaircir sur le sujet, merci

[Nayk]

Salut !

On commence par déterminer la valeur de \(\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}\) (on dérive par-rapport au temps \(\rho^2\dot\varphi\) ) :

\(\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}=\frac{d(\rho^2)}{dt}\times\dot\varphi+\frac{d\dot\varphi}{dt}\times\rho^2
\)

Comme \(\rho^2=\rho\times\rho\), on a :
\(\frac{d(\rho^2)}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\times\rho+\frac{d\rho}{dt}\times\rho=\dot\rho\times\rho+\dot\rho\times\rho=2\dot\rho\rho\)
Donc :

\(\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}=2\dot\rho\rho\dot\varphi+\frac{d\dot\varphi}{dt}\times\rho^2 =2\dot\rho\rho\dot\varphi+\ddot\varphi\rho^2\)

donc si on multiplie par \(\frac1\rho\) :

\(
\frac1\rho\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}=\frac1\rho(2\rho\dot\rho\dot\varphi+\rho^2\ddot\varphi)=2\dot\rho\dot\varphi+\rho\ddot\varphi
\)

Et on retombe bien sur l'expression de départ

PS :
Désolé pour le temps d'attente j'ai du consulter d'autres tuteurs pour te répondre... Autant te dire que cette notation \(\frac1\rho\frac{d(\rho^2\dot\varphi)}{dt}\) n'est pas vraiment utile pour les QCM, il faut retenir \(2\dot\rho\dot\varphi+\rho\ddot\varphi\)

[BenC]

Merci Kyann,

Le seul petit ''truc'' que je n'arrive pas à comprendre, c'est le fait de dériver ''par rapport au temps'', en mathématiques on avait l'habitude de dériver par rapport à x ( qui était en général présent dans la formule) mais là c'est un peu différent, en soit là c'est p^2*(dérivé de φ), comme c'est un produit, on applique la formule u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)? Mais à en soit on a juste pris les deux composés et on a multiplié chacun par la dérivé de l'autre composant par rapport au temps non? Si tu peux m'éclaircir d'avantage sur le sujet, merci

[Nayk]

Le fait de dériver une fonction est toujours par-rapport à une variable (par exemple, \(x\) ou le temps \(t\)).

Pour le principe, tu as bien compris et ton explication est la bonne : on peut assimiler le produit \(\rho^2\dot\varphi\) au produit de 2 fonctions (\(u=\rho^2\) et \(v=\dot\varphi\)), donc on applique la formule classique :

\((uv)'=u'v+v'u\),

avec ici \(u'\) la dérivée par-rapport au temps, c'est-à-dire \(\frac{d(\rho^2)}{dt}\), et \(v'\) la dérivée par-rapport au temps, c'est-à-dire \(\frac{d(\dot\varphi)}{dt}\).

C'est mieux comme ça ?

Et un petit conseil : ne te prends pas trop la tête avec ce genre de démonstration, car le mieux c'est de les comprendre (ce que tu fais et c'est très bien ), mais la plupart du temps, il suffit juste de savoir utiliser le résultat final. Ce genre de raisonnement mathématique n'est pas présent dans les exos (donc heureusement pas a savoir faire soi-même), même si c'est toujours plus pratique de l'avoir compris !

[BenC]

D'accord, je comprends mieux,

merci du conseil