Salut !
En effet tu es sur la bonne piste, mais le reste de la méthode n'est pas exact. On veut déterminer
\(r\) pour que l'on soit en situation d'équilibre (stable ou instable, on le verra après). Pour cela, on reprend les propriétés du cours :
on parle d'équilibre si l'énergie potentielle est à un extremum : - maximum = équililbre instable,
- mnimum = équilibre stable
Comme tu l'as bien compris, pour rechercher les extremum d'une fonction (ici la fonction
\(E_p(r)\)) on la dérive, et on recherche les valeurs de
\(r\) pour lesquelles la dérivée de l'énergie potentielle est nulle, c'est-à-dire :
\(E_p(r)'=0\)
Voila pour la méthode générale, avec des bon souvenirs de maths qui reviennent
. On commence donc par dériver la fonction, en se référant si besoin au premier chapitre du Tut avec les rappels de maths. On se sert de la propriété :
\(\left(\frac1{u(r)}\right)'=-\frac{u'(r)}{u(r)^2}\), avec
\(\ \ \ \bullet\ \ \ \ \left(\frac{1}{r} \right)'=-\frac{1}{r^2}\)
\(\ \ \ \bullet\ \ \ \ \left(\frac{1}{R-r}\right)'=-\frac{-1}{(R-r)^2}=\frac{1}{(R-r)^2}\)
Donc on peut dériver
\(E_p(r)=-\frac{GmM_S}r-\frac{GmM_T}{R-r}\) :
\(E_p(r)'=-\left(-\frac{1\times GmM_S}{r^2}\right)-\left(-\frac{-1\times GmM_T}{(R-r)^2}\right)=\frac{GmM_S}{r^2}-\frac{GmM_T}{(R-r)^2}\)
On cherche
\(r\) pour que la dérivée soit nulle :
\(\frac{GmM_S}{r^2}-\frac{GmM_T}{(R-r)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{M_S}{r^2}-\frac{M_T}{(R-r)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{M_S\times (R-r)^2}{r^2\times (R-r)^2}-\frac{M_T\times r^2}{(R-r)^2\times r^2}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{M_S\times (R-r)^2-M_T\times r^2}{r^2\times (R-r)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow {M_S\times (R-r)^2-M_T\times r^2}=0\)
\(\Leftrightarrow {M_SR^2+M_Sr^2-2M_SRr-M_Tr^2}=0\)
\(\Leftrightarrow {M_S\left(R^2+r^2-2Rr-\frac{M_T}{M_S}r^2\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow R^2+r^2-2Rr-\frac{M_T}{M_S}r^2=0\)
\(\Leftrightarrow \left(1-\frac{M_T}{M_S}\right)r^2-2Rr+R^2=0\)
On se retrouve avec un polynome du second degré avec
\(a=1-\frac{M_T}{M_S}\),
\(b=-2R\) et
\(c=R^2\). On calcule le discriminant :
\(\Delta=b^2-4ac=4R^2-4R^2(1-\frac{M_T}{M_S})=4R^2-4R^2+\frac{4R^2M_T}{M_S}=\frac{4R^2M_T}{M_S}\)
Les 2 solutions sont :
\(r=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{2R-\sqrt{\frac{4R^2M_T}{M_S}}}{2\left(1-\frac{M_T}{M_S}\right)}=\frac{2R-2R\sqrt{\frac{M_T}{M_S}}}{2\left(1-\frac{M_T}{M_S}\right)}=\frac{R-R\sqrt{\frac{M_T}{M_S}}}{1-\frac{M_T}{M_S}}=\frac{R(1-\sqrt{\frac{M_T}{M_S}})}{1-\frac{M_T}{M_S}}\)
A présent, il faut ruser, en utilisant une propriété vue en 3ème sur la factorisation... On a
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), donc ici, si on pose
\(a^2=1\Rightarrow a=1\) et
\(b^2=\frac{M_T}{M_S}\Rightarrow b=\sqrt\frac{M_T}{M_S}\), alors
\(a^2-b^2=1-\frac{M_T}{M_S}=\left(1+\sqrt\frac{M_T}{M_S}\right)\left(1-\sqrt\frac{M_T}{M_S}\right)\). En remplçant cette expression dans la formule de
\(r\) on obtient :
\(r=\frac{R(1-\sqrt{\frac{M_T}{M_S}})}{\left(1+\sqrt\frac{M_T}{M_S}\right)\left(1-\sqrt\frac{M_T}{M_S}\right)}=\boxed{\frac{R}{1+\sqrt\frac{M_T}{M_S}}}\)
VOILA ENFIN, j'espère que tes yeux n'ont pas trop saigné,
les miens si. Mais j'ai tout détaillé, donc ça prend pas mal de place mais c'est possible d'aller plus vite.
Sur ce, bon courage !!
