Salut !
Petit rappel de cours : la fonction de répartition
\(F(x)\) est définie par
\(F(x) = p(X \leq x)\)
Alors, en reprenant le tableau donné dans l'énoncé, on te dit que :
Au jour 0 : 100% de tes moustiques de départ sont vivants.
Au jour 4 : 80% de tes moustiques de départ sont vivants.
Au jour 8 : 50% de tes moustiques de départ sont vivants.
Au jour 12 : 20% de tes moustiques de départ sont vivants.
Au jour 16 : 10% de tes moustiques de départ sont vivants.
Au jour 20 : 0% de tes moustiques de départ sont vivants.
Dans le QCS, on nous demande la valeur de
\(F(1)\).
Traduit mathématiquement, on obtient donc :
\(F(1) = p(X \leq 1)\)
\(\Leftrightarrow F(1) = p(X = 0) + p(X = 1)\)
À partir de là, on doit donc savoir la probabilité qu'on ait aucune piqûre et qu'on ait une seule piqûre.
Observons les paliers du jour 0 et du jour 4 : Au jour 0, tous nos moustiques sont vivants donc ils sont tous susceptibles de nous piquer.
Par contre, au jour 4, il ne reste que 80% de nos moustiques qui ont survécu.
Ainsi, es-tu d'accord avec moi que la seule manière de n'avoir aucune piqûre c'est que ça soit les moustiques qui meurent entre le 0ème jour et le 4ème jour qui sont destinés à nous piquer ? En considérant que les autres moustiques ne nous piqueront pas ?
Du coup, la probabilité de n'avoir aucune piqûre c'est la probabilité que les moustiques meurent avant le 4e jour.
On peut donc en conclure que
\(p(X=0) = 1,00 - 0,80 = 0,20\)
Par raisonnement analogue, on peut en conclure le reste :
\(p(X=1) = 0,80 - 0,50 = 0,30\) pour une piqûre (regarder la différence de survie entre le 4e jour et le 8e jour)
\(p(X=2) = 0,50 - 0,20 = 0,30\) pour deux piqûres (regarder la différence de survie entre le 8e jour et le 12e jour)
\(p(X=3) = 0,20 - 0,10 = 0,10\) pour trois piqûres (regarder la différence de survie entre le 12e jour et le 16e jour)
\(p(X=4) = 0,10 - 0,00 = 0,10\) pour quatre piqûres (regarder la différence de survie entre le 16e jour et le 20e jour)
J'espère avoir répondu à ta question ! N'hésites pas si tu n'as pas compris ou que tu en as d'autres !
Bon Courage dans cette dernière ligne droite ! =)
