Coucou,
Il s'agit d'une question un peu complexe... Raisonnons par étapes:
1) Tu dois extraire les données de l'énoncé:
\(\pi\)=P(M)=0,2%=0,002
\(Se=P(S|M)\)=98%=0,98
\(Sp=P(\bar{S}|\bar{M})\)=99,9%=0,999
2) On fait un arbre de probabilité suivant les données de l'énoncé:
Capture d’écran 2020-05-17 à 16.06.25.png
3) On continue à examiner l'énoncé:
On a deux possibilités:
- Soit les 1000 poches mélangées ne contiennent pas le signe --> Dans ce cas, on ne fait qu'un test. C'est P(X=1)
- Soit les 1000 poches mélangées contiennent le signe --> Dans ce cas, on va faire 1 test pour les 1000 poches, et 1 test par poche. En tout, on va faire 1001 tests. C'est P(X=1001)
X ne peut prendre que deux valeurs: 1 ou 1001
Le fait de faire 1 test ou 1001 tests dépend du
signe obtenu lors du premier test ! Autrement dit,
on sélectionne à partir du signe S et pas à partir de la maladie M (On ne fait qu'un test si les 1000 poches ne contiennent pas le signe, PAS si les 1000 poches ne contiennent pas la maladie)
La nuance est très importante...
On a dans l'énoncé P(M) mais PAS P(S)...
Il faut donc calculer P(S)
4) Calcul de P(S), en suivant la loi des probabilités totales
\(P(S)=P(M)\times P(S|M)+P(\bar{M})\times P(S|\bar{M})=0,002\times0,98+0,998\times0,001=0,002958\)
5) Utilisation de la loi binomiale
C'est cool d'avoir P(S), mais on cherche la probabilité que sur 1000 poches, aucune poche ne contienne le signe S... Il faut donc effectuer
une loi binomiale
Ici:
Nombre de tentatives n=1000
Nombre de succès k=0
Probabilité du succès P(S)=0,002958
P(0 succès sur 1000 poches)=P(1000 poches
\(\bar{S}\))=
\((1-P(S))^{1000}=0,0516955524\)=5,16955524%
On a donc
\(1-0,0516955524=0,9483044476\)=94,83044476% de chances d'avoir au moins une poche avec le signe parmi les 1000 poches.
6) On répond aux items
A FAUX: X ne suit pas une loi binomiale, vu que cette variable aléatoire ne peut prendre que deux valeurs 1 et 1001...
B VRAI: \(P(X=1)=P(1000 poches \bar{S})\)=5,16955524% < 90%
C VRAI: P(X=1001)=1-P(1000 poches
\(\bar{S}\))=94,83044476% > 10%
D FAUX: Alors, là je ne suis pas d'accord avec ta prépa...
Si on traduit l'énoncé, on nous demande si P(X=1)>P(1000 poches
\(\bar{M}\))
Pour calculer P(1000 poches
\(\bar{M}\)), on fait la même chose que lors de l'étape "Utilisation de la loi binomiale", sauf qu'au lieu d'utiliser P(S), on utilise P(M):
P(1000 poches
\(\bar{M}\))=
\((1-P(M))^{1000}=0,998^{1000}=0,1350645224=\)13,50645224%
On trouve l'inverse: que P(X=1)<P(1000 poches
\(\bar{M}\)). C'est pour ça que l'item est faux
E VRAI: X ne prend que deux valeurs: 1 et 1001. On fait donc face à une variable quantitative discrète.
On sait donc que
\(E(X)=1\times P(X=1)+1001\times P(X=1001)=0,0516955524+1001\times0,9483044476=949,3044476\) > 800
Voilà, j'espère que c'est plus clair
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