Salut !
Tout d'abord, l'objectif dans cet exercice c'est de calculer la valeur de k, et plus globalement l'intégrale de
\(f(x)\).
Dans les rappels de cours, je peux te rappeler que pour une fonction
\(f(x)\) définie dans l'intervalle
\([a;b]\),
\(\int_{a}^{b} f(x) dx = 1\). En gros, la surface sous la courbe vaut 1.
La particularité ici c'est que ta valeur de
\(f(x)\) change selon l'intervalle dans lequel tu es, comme tu l'as dis. C'est pour ça que je ne peux pas te dire la "seule" valeur de
\(f(x)\) vu qu'elle varie.
Je remets donc les infos données dans l'énoncé sur la valeur de
\(f(x)\) :
\(f(x) = k\) si
\(0 \leq x \leq 2\)
\(f(x) = \frac{k}{2}\) si
\(2 \leq x \leq 5\)
\(f(x) = 0\) si
\(x < 0\) ou si
\(x > 5\)
Pour l'explication de la découpe en plusieurs parties, tu as tu voir une notion au lycée si tu as fais une série S, qui est la relation de Chasles pour les intégrales. Je vais te donner un exemple simple : soit une fonction
\(g(x)\) définie sur l'intervalle
\([0;4]\).
D'après la relation de Chasles, tu peux affirmer que par exemple :
\(\int_{0}^{4} g(x) dx = \int_{0}^{2} g(x) dx + \int_{2}^{4} g(x) dx\)
Ce découpage peut être fait à l'infini car c'est une loi, tant qu'à la fin tu as bien le début et la fin de ton intervalle qui sont pris en compte.
Dans notre exercice, la valeur de
\(f(x)\) varie selon l'intervalle dans lequel tu es, ainsi cette relation de Chasles nous sera très utile pour pouvoir bien découper ton intégrale principale de telle sorte à avoir chaque valeur de
\(f(x)\) sans avoir de problème de chevauchement.
Je te détaille le calcul de l'intégrale :
\(\int_{0}^{5} f(x) dx = 1\)
\(\Leftrightarrow \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{5} f(x) dx = 1\) par relation de Chasles
\(\Leftrightarrow \int_{0}^{2} \: k \: dx + \int_{2}^{5} \: \frac{k}{2} \: dx = 1\) par remplacement
\(\Leftrightarrow \int_{0}^{2} \: k \: dx + \int_{2}^{5} \: \frac{1}{2}*k \: dx = 1\)
\(\Leftrightarrow [x*k]^{2-0} + [\frac{1}{2}*x*k]^{5-2} = 1\) selon les primitives respectives (je te laisse dériver pour vérifier) et sachant que k est une constante
\(\Leftrightarrow [x*k]^{2} + [\frac{1}{2}*x*k]^{3} = 1\) donc on remplace x par ce qu'on a en "exposant"
\(\Leftrightarrow 2k + \frac{1}{2}*3*k = 1\)
\(\Leftrightarrow 2k + \frac{3k}{2}= 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{4k}{2} + \frac{3k}{2}= 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{7k}{2} = 1\)
\(\Leftrightarrow 7k = 1*2\)
\(\Leftrightarrow k = \frac{2}{7}\)
Tu ne peux pas remplacer directement car tu dois trouver les primitives respectives avant de pouvoir faire des additions "classiques"
N'hésites pas si tu as d'autres questions !
Bon Courage ! =D
