ED4 Ex 4.1 Q1

[dylanbelhassen]

Bonsoir, est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer pour la question 1, je ne comprends pas bien la différence entre X et M, et je n'arrive pas à trouver leurs espérances et variances respectives.
Merci, bonne soirée!

[MrKorbur]

Bonsoir,
--> X correspond à la variable aléatoire "Nombre de colonies par boites". Cela signifie que pour chaque boîte va être associée une valeur X.
Par exemple:
X(Boîte 1)=5; X(Boite 2)=7, etc.

--> M correspond à la variable aléatoire "Moyenne arithmétique des 54 valeurs de nombre de colonies observées dans chaque boîte". Cela signifie qu'une seule valeur M va être attribuée aux 54 boîtes d'un coup.
Il s'agit donc de la moyenne de X sur 54 boîtes. On peut dire que:
\(M=\frac{\text{Somme des X des 54 boîtes}}{54}\)

--> D'après l'énoncé, on a en moyenne 6 colonies par boîte. Donc E(X)=6. Or dans une loi de Poisson, E(X)=Paramètre. Donc X va suivre une loi de Poisson de paramètre 6 (Item A VRAI)

--> Il faut retenir +++ que l'espérance d'une variable aléatoire est égale à l'espérance de la moyenne de cette même variable ! Comme ça, plus besoin de le re-démontrer (et en plus c,'est assez logique). Item B vrai.

--> Il faut retenir aussi +++ que la variance de la moyenne d'une variable aléatoire Var(M) se calcule comme ça:
\(Var(M)=\frac{Var(X)}{n}\) (avec n=54 ici)
L'item C est donc FAUX