développements limités

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liliiiii
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développements limités

Message par liliiiii »

Salut, je n'ai pas bien compris.à quoi servaient les développement limitées et à quoi correspondaient les différents "ordres" que le prof aborde, d'ordre 1 ou 0 ect.

Comment les utiliser ? Ou doit-on les utiliser si vous auriez un exemple (trop cool) ? Et ça correspond a quoi ?

merci d'avance et désolé pour les fautes d'orthographes, je suis sur un vieux clavier
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Dinh - G4ligan
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Re: développements limités

Message par Dinh - G4ligan »

Salut !
En fait les développements limités servent à approximer une fonction au voisinage d'un point, c'est à dire que tu connais la valeur d'une fonction en un point \((x,y)\) ou en quelques points mais tu sais pas c'est quoi sa formule, du coup tu cherches à retrouver une fonction qui ressemble à peu près à ton autre fonction autour des points qui t'intéressent (souvent on approxime autour de 0). En physique on a même tendence à confondre la fonction d'origine avec le développement limité

On pourrait prendre la tangente de la fonction pour approximer, mais c'est pas très précis :
Image

Du coup on préfère l'approximer par des fonctions polynomiales :
\(ax^2+bx+c\) = ordre 1
\(ax^3+bx^2+cx+d\) = ordre 2
\(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) = ordre 3
etc...

La formule générale (Taylor-Young) d'un DL à l'ordre \(n\) étant \(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\) un reste,
sachant que \(f^{(n)}\) signifie f dérivé n fois

Et plus on augmente l'ordre, plus c'est précis !
(d'ailleurs, si tu regardes bien, la tangente est en fait l'ordre 0 !)

et du coup ça te donne des développements limités qui "épousent la forme" de ta fonction d'origine :
Image


Voilà :D

Après je dois t'avouer le prof en parle juste pour démontrer les formules qu'il vous donne, mais faut pas s'attarder dessus ^^
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