Salut !
En fait les développements limités servent à
approximer une fonction au voisinage d'un point, c'est à dire que tu connais la valeur d'une fonction en un point
\((x,y)\) ou en quelques points mais tu sais pas c'est quoi sa formule, du coup tu cherches à retrouver une fonction qui ressemble à peu près à ton autre fonction autour des points qui t'intéressent (souvent on approxime autour de 0). En physique on a même tendence à
confondre la fonction d'origine avec le développement limité
On pourrait prendre la tangente de la fonction pour approximer, mais c'est pas très précis :
Du coup on préfère l'approximer par des fonctions polynomiales :
\(ax^2+bx+c\) = ordre 1
\(ax^3+bx^2+cx+d\) = ordre 2
\(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) = ordre 3
etc...
La formule générale (Taylor-Young) d'un DL à l'ordre
\(n\) étant
\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\) un reste,
sachant que
\(f^{(n)}\) signifie f dérivé n fois
Et plus on augmente l'ordre, plus c'est précis !
(d'ailleurs, si tu regardes bien, la tangente est en fait l'ordre 0 !)
et du coup ça te donne des développements limités qui "épousent la forme" de ta fonction d'origine :
Voilà
Après je dois t'avouer le prof en parle juste pour démontrer les formules qu'il vous donne, mais faut pas s'attarder dessus ^^