Q7 2007

[Aruu]

Bonjour,

j'ai un pb avec cet exercice :

Dans une population cellulaire, les durées des phases G1,S,G2, et M des cycles sont supposées distribuées normalement avec :

G1 : m egal à 10h et écart type 5h
S : moyenne = 6h et écart type 3h
G2 : moyenne =2h et..............1h
M : m =2h et ........................1h

La durée du cycle est la somme des durées des 4 phases. Les durées des phases sont supposées indépendantes. On admettra que la somme des durées des 4 phases est distribuée normalement .


L'item E est : il y a 95 chances sur 100 pr que la durée du cycle soit comprise en être 8 et 32h. Or moi j'au trouvé entre 14 et 26h.

Si qqn trouve merci d'avance c très gentil

[Flowey]

Hello !
Pour ça il faut trouver quelle loi suit la variable aléatoire "somme des durées": D=G1+S+G2+M
On nous dit (même si on aurait pu deviner :3) que ça suit une loi normale
E(D)=E(G1+S+G2+M)=E(G1)+E(S)+E(G2)+E(M)=10+6+2+2=20h (jusque là logique)
Ensuite il faut trouver l'écart-type. On ne peut pas calculer l'écart-type d'une somme (enfin pas de formule directe), on sait le faire par les variances
On veut calculer Var(D)=Var(G1+S+G2+M)
Or toutes les phases sont indépendantes entre elles, donc tous les termes de covariance valent 0
donc Var(D)=Var(G1)+Var(S)+Var(G2)+Var(M)=5²+3²+1²+1²=36
On en déduit l'écart-type de D: \(\sqrt{36}=6\)
Ainsi, D suit la loi normale \(N(\mu=20; \sigma^2=6^2)\)
L'intervalle qui contient 95% des valeurs est 20+-1,96\(\sigma\) qui vaut environ 20+-2\(\sigma\)
En remplaçant par la valeur de \(\sigma\) qu'on connait, ça fait 20+-2x6 = 20+-12 = [8; 32]

Le "piège" de l'exercice était bien sûr centré sur le calcul de l'écart-type
J'espère que c'est clair

[Aruu]

D'accord je comprends en fait j'ai pris n=4 c'est pr ça que j'ai trouvé cet intervalle donc si j'ai bien compris tu as pris n=1 ? c'est ça ? Merciiiii

[Flowey]

On ne raisonne pas sur la moyenne, donc il n'y a pas de n
Je te remets un post que j'avais écrit pour expliquer ça : viewtopic.php?f=555&t=13564&p=127755&hi ... +Y#p127755

On peut donc trouver l'intervalle qui contient 95% des valeurs, qui est toujours pour n'importe quelle variable Y suivant une loi normale
\(\mu_Y\pm 1,96\sigma_Y\) dans absolument tous les cas.

(qu'on remplace Y par M, X, P ou n'importe quoi c'est vrai)

Lorsqu'on se sert de la moyenne, par contre, celle ci a une variance de \(\frac{\sigma_X^2}{n}\), ce qui explique le "/n" dans la formule. On pourrait très bien écrire que 95% des valeurs de la moyenne sont contenues dans l'intervalle \(\mu_{M}\pm 1,96\sigma_{M}\), ce qui est égal à \(\mu_{X}\pm 1,96\frac{\sigma_{X}}{\sqrt{n}}\) (Et en pratique, c'est \(\sigma_X\) qu'on a )

Vualààà