QCM 15 2013

[Lise]

Bonjour !
Je ne comprends pas bien la correction de ce QCM :

"Le VEMS (Volume Expiratoire Maximum pendant la première Seconde), est une mesure de la fonction
pulmonaire mesurée en l. Dans une population d’enfants atteints de mucoviscidose, le VEMS a les caractéristiques
suivantes : moyenne 3, 30 L, écart-type 1, 20 L.
A. On peut affirmer, sans hypothèse supplémentaire, que 95% des enfants atteints de mucoviscidose ont un VEMS
dans l’intervalle [0, 9; 5, 7] L
B. On peut affirmer, si le VEMS a une distribution normale, que 95% des enfants atteints de mucoviscidose ont un
VEMS dans l’intervalle [0, 9; 5, 7] L

A. FAUX : Il faut que n > 30 pour construire cet intervalle de pari grâce à la loi normale.
B. VRAI : Si le VEMS suit une loi normale, on peut calculer l’intervalle de pari : IP 95% (X) = [E(X) ± u α × σ(X)] = [3, 30 ± 2 × 1, 20] = [0, 9 ; 5, 7]."

D'où vient cette formule : IP 95% (X) = [E(X) ± u α × σ(X)] ?
Je pensais que n était indispensable pour calculer les intervalles...?
Pourquoi l'item B est vrai, puisqu'on ne précise pas dans l'item que n > 30, et qu'à cause de cela l'item A est faux ?

Merci d'avance !

[Flowey]

Hello !
Pour pouvoir construire l'intervalle de Pari, il faut s'assurer que ce qu'on veut encadrer suive la loi normale
La variable aléatoire Moyenne de n'importe quelle loi X, suit la loi normale si, par TCL, n>30.
Ici, l'item A demande le VEMS (donc même pas la moyenne), donc pas besoin de regarder les effectifs, c'est faux, on ne pourra jamais le savoir
Par contre, si X suit déjà une loi normale, M la suit forcément, sans autre condition

Ensuite, en prenant en compte l'énoncé de l'item B, on a VEMS qui suit la loi normale N(3,3 ; 1,2²). On peut donc trouver l'intervalle qui contient 95% des valeurs, qui est toujours pour n'importe quelle variable Y suivant une loi normale
\(\mu_Y\pm 1,96\sigma_Y\) dans absolument tous les cas.
Ici, on raisonne directement sur le VEMS, et on a tout ce qu'il faut pour construire l'intervalle (à condition que le VEMS suive une loi normale bien sûr)

Lorsqu'on se sert de la moyenne, par contre, celle ci a une variance de \(\frac{\sigma_X^2}{n}\), ce qui explique le "/n" dans la formule. On pourrait très bien écrire que 95% des valeurs de la moyenne sont contenues dans l'intervalle \(\mu_{M}\pm 1,96\sigma_{M}\), ce qui est égal à \(\mu_{X}\pm 1,96\frac{\sigma_{X}}{\sqrt{n}}\) (Et en pratique, c'est \(\sigma_X\) qu'on a )

J'espère que c'est clair n'hésite pas sinon !

[Lise]

Super, j'ai tout compris !! Merci bcp !!