Bonsoir !
Alors, l'examen composite e correspond à faire l'examen e1 puis si celui-ci est positif à faire l'examen e2. On cherche la spécificité qui est par définition la probabilité de ne pas avoir le signe (résultat négatif) sachant qu'on n'est pas malade.
Ne pas avoir le signe correspond au fait, soit d'avoir un résultat à e1 négatif, soit d'avoir un résultat positif à e1 puis un résultat négatif à e2.
On a donc : Sp = P(NS/NM) = P(NS1/NM) + P(NS2 ∩ S1/NM).
P(NS1/NM) correspond à la spécificité de l'examen e1 et vaut donc 0,55.
En utilisant la formule des probabilités conditionnelles on a : P(NS2 ∩ S1/NM) = P(NS2 ∩ S1 ∩ NM) / P(NM).
L'énoncé de la question 5.7 nous donne P(S1 ∩ S2) = 0,25 et P(S1 ∩ S2 ∩ M) = 0,085. Maintenant, il faut jongler avec les probabilités pour trouver P(NS2 ∩ S1 ∩ NM).
- P(S1 ∩ S2) = P(S1 ∩ S2 ∩ M) + P(S1 ∩ S2 ∩ NM)
soit P(S1 ∩ S2 ∩ NM) = P(S1 ∩ S2) - P(S1 ∩ S2 ∩ M) = 0,25 - 0,085 = 0,165
- P(S1 ∩ S2 ∩ NM) + P(S1 ∩ NS2 ∩ NM) = P(S1 ∩ NM) = P(S1/NM) * P(NM)
soit P(S1 ∩ NS2 ∩ NM) = P(S1/NM) * P(NM) - P(S1 ∩ S2 ∩ NM) = 0,45 * 0,9 - 0,165 = 0,24
On a donc P(NS2 ∩ S1/NM) = P(NS2 ∩ S1 ∩ NM) / P(NM) = 0,24/0,9 = 0,267.
Finalement, on obtient Sp = P(NS/NM) = P(NS1/NM) + P(NS2 ∩ S1/NM) = 0,55 + 0,267 = 0,82.
Voilà, c'est assez lourd, il ne faut pas hésiter à faire un arbre de probabilité pour bien visualiser et ne pas se perdre dans les calculs.
