[Estimation] Annales PSA 2008 q9

[Sylvain]

Bonjour

Voilà petit souci avec cette question!

Déja énoncé q5 ( rien à voir je crois mais comme c'est le premier d'uune même série d'exercices je vous le met quand même c'est p-e là que je loupe quelque chose): " on a une pop de malades en deux groupes: A (40% des cas ) et B ( 60% des cas) et on s'intéresse à un score de sévérité de la maladie, var discrète prenant les vals entières entre 1 et 40 et notée X 3

Puis plus loin énoncé q9: " un éch de 16 pers comporte nA=7 du groupe A et nB=9 du groupe B . Les moyennes et écart-rtypes calculés sur les 7 pers du groupe A sont mA=16,5 et sA=9,4 et chez les 9 du grp B , mB=22,2 et sB=7. On veut en déduire la moyenne m et l'écart-type s de l'éch total. "

Donc pour la moyenne pas de pb je fais 7/16x16,5+9/16x22,2 et je trouve m=19,7 la bonne valeur. Par contre pour l'écart-type demandé je ne trouve aucun des résultats proposés ( 8,4 ou bien 8,6 ou bien 9 ) et la correction trouve 8,4, voici la correction:

m=Σx/n = (Σxa+Σxb)/(na+nb) = (na.ma+nb.mb)/(na+nb) = 19,7

s²=1/(n-1) * (Σx²-nm²)

or Σxa²=2435,91 et Σxb²=4827,56 soit Σx²=7263,47 et donc avec ça on trouve s²=70,26 et on tombe bien sur s=8,4.

Ce que je ne comprends pas c'est comment on calcule Σxa² et Σxb² ? A quoi ça correspond en fait ?

Car dans le calcul de la moyenne on voit que Σxa par exemple c'est na.ma , donc logiquement Σxa² c'est (na.ma)² non ? Mais en faisnt ça je tombe sur 13340 et pas sur 2435...

Autre chose que je ne comprends pas: pourquoi il faut passer par la formule de l'estimation de la variance, alors qu'on a déja obtenu ces valeurs estimées sur les deux composantes de l'échantillon ? On ne peut pas tout simplement faire comme pour la moyenne c'est-à-dire un simple calcul de variance d'une somme ? C'est-à-dire ici Y la V.A. = 9/16*B + 7/16*A , donc var (Y)=s²(celui demandé dans l'énoncé)=(9/16)²*sb²+(7/16)²*sa² et on fait la racine de ça pour avoir s demandé ? Car en faisant ça on tombe pas du tout sur 8,4 :/

Voilà voilà merci d'avance de votre aide !!

P.S.: aucun rapport mais juste pour savoir si je pouvais trouver la correction d'ue4 2012 quelque part en ligne ? Je ne la trouve pas sur montutorat mais je l'ai p-e loupée ? Merci !!

[kentinab]

Bonjour

Voilà petit souci avec cette question!

Déja énoncé q5 ( rien à voir je crois mais comme c'est le premier d'uune même série d'exercices je vous le met quand même c'est p-e là que je loupe quelque chose): " on a une pop de malades en deux groupes: A (40% des cas ) et B ( 60% des cas) et on s'intéresse à un score de sévérité de la maladie, var discrète prenant les vals entières entre 1 et 40 et notée X 3

Puis plus loin énoncé q9: " un éch de 16 pers comporte nA=7 du groupe A et nB=9 du groupe B . Les moyennes et écart-rtypes calculés sur les 7 pers du groupe A sont mA=16,5 et sA=9,4 et chez les 9 du grp B , mB=22,2 et sB=7. On veut en déduire la moyenne m et l'écart-type s de l'éch total. "

Donc pour la moyenne pas de pb je fais 7/16x16,5+9/16x22,2 et je trouve m=19,7 la bonne valeur. Par contre pour l'écart-type demandé je ne trouve aucun des résultats proposés ( 8,4 ou bien 8,6 ou bien 9 ) et la correction trouve 8,4, voici la correction:

m=Σx/n = (Σxa+Σxb)/(na+nb) = (na.ma+nb.mb)/(na+nb) = 19,7

s²=1/(n-1) * (Σx²-nm²)

or Σxa²=2435,91 et Σxb²=4827,56 soit Σx²=7263,47 et donc avec ça on trouve s²=70,26 et on tombe bien sur s=8,4.

Ce que je ne comprends pas c'est comment on calcule Σxa² et Σxb² ? A quoi ça correspond en fait ?

Car dans le calcul de la moyenne on voit que Σxa par exemple c'est na.ma , donc logiquement Σxa² c'est (na.ma)² non ? Mais en faisant ça je tombe sur 13340 et pas sur 2435...

Plop, alors dejà Σ(x^2) différent de [Σ(x)]^2
Pour illuster, tu fais la somme de 1+ 2 +3 = 6 1^2 +2^2 +3^2 = 1+4+9 = 14 alors que 6^2 = 36.
Ce que tu as fais c'est 6^2 à savoir [Σ(xa)]^2 alors que ce que demande la variance est Σ(xa^2)

Comment trouver cette somme dans ce cas ? Il faut partir du fait que \(s_a^2 = \frac{1}{n_a -1} \times (Σ(x_a^2) -n_am^2)\)
Ce qui implique que (en isolant la somme) \(Σ(x_a^2) = s_a^2 \times (n_a -1) + n_am^2\)
Tu peux vérifier, tu trouves les bonnes valeurs.

Voilà !

Autre chose que je ne comprends pas: pourquoi il faut passer par la formule de l'estimation de la variance, alors qu'on a déja obtenu ces valeurs estimées sur les deux composantes de l'échantillon ? On ne peut pas tout simplement faire comme pour la moyenne c'est-à-dire un simple calcul de variance d'une somme ? C'est-à-dire ici Y la V.A. = 9/16*B + 7/16*A , donc var (Y)=s²(celui demandé dans l'énoncé)=(9/16)²*sb²+(7/16)²*sa² et on fait la racine de ça pour avoir s demandé ? Car en faisant ça on tombe pas du tout sur 8,4 :/

Euh, je peux pas te dire pourquoi ce que tu propose ne marche pas. Cependant il faut voir que pour la moyenne, tu fais exactement pareil !
Tu trouve Σ(x) totaux en faisant ma = Σ(xa)/na --> Σ(xa) = ma*na
et mb = Σ(xb)/nb --> Σ(xb) = mb*nb
Σ(x) = Σ(xa) + Σ(xb) et tu divise Σ(x) totaux par ntotal (tu applique ta moyenne observée à l'échantillon total). Juste que avec les carré et, la complexité de la formule de la variance, ca devient un peu plus complexe, mais le raissonement est le même !


Si je n'ais pas été clair sur un point ou que tu n'as pas compris d'autre chose, n'hésite pas !

[Sylvain]

Super j'ai compris merci du coup vu que tu expliques super bien je vais te poser d'autres questions merci !!