[concours 2013] Developpement Limité des bobines

[3002656]

Salut,
Voila, j'ai une question à poser,

J'effectue le DL, s'ordre 1, tout va bien, je trouve [calcule correct]
\(dB(z)=2*-10u_{o}IR^{2}(3/2[r^{2} + z^{2}]^{-5/2}*2[z])\)Sachant que j'ai pris distance à bobine 1 = z, et distance à bobine 2 = 10cm -z

En z = 5, je trouve \(dB(z=5) = -2.16 mT.m^-1\) [reponse C]

La question demande une approximation en fonction de dz, au voisinage de 5cm,
La formule du developpement de taylor nous donne \(Pn(dz = 5) = B(dz = 5) + (dz - 5cm)*dB(z=5)\)

ce qui nous donne : \(B(dz) = 0 + (dz-5*10^-2)*-2.16*10^-3\)
Ce qui ne correspond à aucune réponse.

Le fait est qu'on se place à une abscice z = 5 cm...
Voilà, dans ce cas, est-ce que le prof neglige le terme en 5*10^-2*2.16*10^-3 ?

Ou peut être faut il considerer ce point z comme un point d'absice 0

Enoncé :

sadisme.png

Votre aide serait la bienvenue

[secap]

Salut,

D'après moi, le dévelopement limité est vrai pour les valeurs au voisinage de valeur qu'on développe, cad:
\(\begin{align*}
f(x)&=f(a)+(x-a)\times\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\times\frac{f''(a)}{2!}...\\
&=f(a)+dx\times\frac{f'(a)}{1!}+dx^2\times\frac{f''(a)}{2!}...
\end{align*}\)
(x au voisinage de a) = (x-a) est très petit = dx
ou tu peux le faire autrement (même résultat):
\(f(x_0+dx)=f(x_0)+dx\times\frac{f'(x_0)}{1!}+dx^2\times\frac{f''(x_0)}{2!}...\\\)


donc dans ton cas, tu complique les choses, tu as bien calculé, le développement d'ordre 1 au voisinage de 5cm est bien
\(\frac{(z-5)}{1!}\times\left.\frac{dB}{dz}\right|_{z=5}=-2,16\times10^{-3}\times dz\)
(le développement Taylor pour dz=5, je pense que cela ne va pas, dz=5 n'est pas une valeur infiniestimale au alentour de z=5cm, et le DL n'est plus précis pour les valeurs éloignés de valeur qu'on développe)

[3002656]

Oui, merci pour ta reponse,
En me reveillant ce matin, je me suis dit, qu'il fallait en fait calculer dB(dz), en derivant B(Z), aux environ de \(dz = 0\), avec distance à bobine 1 = 5cm + dz et distance bobine = - 5 + dz.. à priori, j'ai pas posté car T.D
si quelqu'un pouvait me confirmer pour les distances.

et ensuite faire un dl de \(B(dz=0) = 0 + (dz-0)*db(dz=0)\)

et on retombe sur nos pieds,

Pas de remplacement intempestif de z par dz

[secap]

Oui, merci pour ta reponse,
En me reveillant ce matin, je me suis dit, qu'il fallait en fait calculer dB(dz), en derivant B(Z), aux environ de \(dz = 0\), avec distance à bobine 1 = 5cm + dz et distance bobine = - 5 + dz.. à priori, j'ai pas posté car T.D
si quelqu'un pouvait me confirmer pour les distances.

et ensuite faire un dl de \(B(dz=0) = 0 + (dz-0)*db(dz=0)\)

et on retombe sur nos pieds,

Pas de remplacement intempestif de z par dz

Je ne comprends pas trop ton "dz=0",
si on fait simple
le champ total à n'importe quel point sur l'axe Oz est
\(B_t(z)=B_1(z)+B_2(z)\)
dont
\(B_1(z)=\frac{\mu_0NI}{2R}\left(1+\frac{z^2}{R^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\\
B_2(z)=-\frac{\mu_0NI}{2R}\left(1+\frac{(z-0,1)^2}{R^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\)
DL au voisinage de z=5cm jusqu'à l'ordre 1 (posons z=5+dz), on a:
\(\begin{align*}
B_1(5+dz)&=B_1(5)+dz\times\left.\frac{dB_1}{dz}\right|_{z=5cm}\\
&=B_1(5)+dz\times\left[\frac{\mu_0NI}{2R}\times\frac{-3}{2}\left(1+\frac{z^2}{R^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\times \frac{2z}{R^2}\right]_{z=5cm}\\
&=B_1(5)-dz\times\frac{0,15\mu_0NI}{2R^3}\left(1+\frac{0,05^2}{R^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\\

B_2(5+dz)&=B_2(5)+dz\times\left.\frac{dB_2}{dz}\right|_{z=5cm}\\
&=B_2(5)+dz\times\left[-\frac{\mu_0NI}{2R}\times\frac{-3}{2}\left(1+\frac{(z-0,1)^2}{R^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\times \frac{2(z-0,1)}{R^2}\right]_{z=5cm}\\
&=B_2(5)-dz\times\frac{0,15\mu_0NI}{2R^3}\left(1+\frac{0,05^2}{R^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\\

B_t(5+dz)&=B_1(5)+B_2(5)-2\times dz\times\frac{0,15\mu_0NI}{2R^3}\left(1+\frac{0,05^2}{R^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\\
&=B_1(5)+B_2(5)-dz\times\frac{0,15\mu_0NI}{R^3}\left(1+\frac{0,05^2}{R^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\\
&=B_1(5)+B_2(5)-dz\times\frac{0,15\times4\times\pi\times10^{-7}\times20\times1}{0,1^3}\left(1+\frac{0,05^2}{0,1^2}\right)^{-\frac{5}{2}}\\
&=B_1(5)+B_2(5)-2,16\times10^{-3}\times dz\\
\end{align*}\)
Tu as donc le résultat ...
(tu as aussi le droit de "ramener" l'origine au milieu de 2 bobines pour simplier certains calculs)
Rappel:
\(f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\times\frac{f'(x_0)}{1!}+(x-x_0)^2\times\frac{f''(x_0)}{2!}+...\\
\text{posons }x=x_0+dx\\
\begin{align*}
f(x_0+dx)&=f(x_0)+(x_0+dx-x_0)\times\frac{f'(x_0)}{1!}+(x_0+dx-x_0)^2\times\frac{f''(x_0)}{2!}+...\\
&=f(x_0)+dx\times\frac{f'(x_0)}{1!}+dx^2\times\frac{f''(x_0)}{2!}+...
\end{align*}\)
la dernière formule est très pratique et tu le trouve aussi dans le slide 25 de Thermo 4

[3002656]

J'avoue que ta methode est plus rigoureuse,
poser z = 5 + dz, j'y avais pas songé.
Pour le coup du dz = 0
j'appelle dz, la variation de position par rapport à z=5cm,
si dz = 0, z = 5cm
Donc j'ai posé \(B(dz)= \frac{u_oIR^2*20}{2}(\frac{1}{(r^2+(5+dz)^2)^{3/2}} - \frac{1}{((r^2)+(5-dz)^2)^{3/2})})\)

Donc dB(dz) = \(dB(dz)=-10u_{o}IR^{2}(3/2[r^{2} + (5+dz)^{2}]^{-5/2}*2[5+dz] + 3/2[r^{2} + (5-dz)^{2}]^{-5/2}*2[5-dz] )\)

\(dB(dz \; = \; 0 ) = toujours \; 2.16 \; mT/m-1\)

Donc \(B(dz \; proche \; de \; 0) = 0 + (dz-0)*dB(dz=0)\)


Aussi, pourquoi le resultat est en T/m ?

[secap]

J'avoue que ta methode est plus rigoureuse,
poser z = 5 + dz, j'y avais pas songé.
Pour le coup du dz = 0
j'appelle dz, la variation de position par rapport à z=5cm,
si dz = 0, z = 5cm
Donc j'ai posé \(B(dz)= \frac{u_oIR^2*20}{2}(\frac{1}{(r^2+(5+dz)^2)^{3/2}} - \frac{1}{((r^2)+(5-dz)^2)^{3/2})})\)

Donc dB(dz) = \(dB(dz)=-10u_{o}IR^{2}(3/2[r^{2} + (5+dz)^{2}]^{-5/2}*2[5+dz] + 3/2[r^{2} + (5-dz)^{2}]^{-5/2}*2[5-dz] )\)

\(dB(dz \; = \; 0 ) = toujours \; 2.16 \; mT/m-1\)

Donc \(B(dz \; proche \; de \; 0) = 0 + (dz-0)*dB(dz=0)\)


Aussi, pourquoi le resultat est en T/m ?

Bon, poser z=5+dz n'est vraiment pas spectaculaire, cela ramène le DL à une autre forme que j'ai cité plus haut (et aussi une forme officile utilisée ailleurs de DL)
Pour l'histoire de dimension, il faut que les dimensions à 2 côtés de l'équation soit homogène, or
\(=T,[dz]=m\\
B=...+C\times dz\)
donc ...

EDIT: en regardant ta méthode, si on te demande de calculer l'ordre 2,3 .... comment tu intègres dans ta formule les factorielles de DL: 2!, 3! ...

[Halygraves]

DDJ,

je vois des gens pour succèder au tutorat de physique l'année prochaine ici !

[3002656]

@HalyGraves, dans le concours 2012, le resultat fonction de z est donné en Tesla, je vois pas la difference entre dz*T et z*T

Pour la methode en question, \(derivé ( 3/2[r^{2} + (5+dz)^{2}]^{-5/2}*2[5+dz]) = u'v+uv'=-5/2*3/2*((r^2+(5+dz)^2)^{-7/2}*2*(5+dz)*v +3/2[r^{2} + (5+dz)^{2}]^{-5/2}*2\)

Qui se rearange, mais qui est une expression cool à priori, en dz, expression cool car pas de d(dz) donc au voisinage de "dz = 0", on obtient un f""(dz) entier, avec les données qu'on a
Mais si tu pouvais souligner la ou se poserait le probleme

merci