Bonjour
!
par exemple, prenons X qui suit une loi binomiale de paramètre n et p. On observe X=0.
Avec la loi binomiale
\(P(X=0)=(1-p)^n\geq 0,05\Leftrightarrow p\leq 1-0,05^{1/n}\)
Avec l'approximation par la loi de poisson
\(P(X=0)=e^{-np}\geq 0,05 \Leftrightarrow p\leq -ln(0,05)/n\approx 3/n\)
Prenons par exemple n=50 : avec la binomiale pmax = 0,0581.. avec poisson pmax = 0,0599... c'est pareil si on arrondit à 1 chiffre significatif
si n=60 pmax = 0,0487 vs 0,0499... c'est pareil si on arrondit à 2 chiffres significatifs
Plus n va être grand plus l'approximation va être proche de la réalité.
En tout cas si il n'est pas précisé dans l'énoncé que la distribution de X est "poissonnienne", pas question d'utiliser la loi de poisson sans avoir vérifier les conditions de validité, ce qui peut arriver quand X suit une loi binomiale avec n > 50. Si X suit une loi binomiale mais que les conditions de validité ne sont pas vérifiées, pas question d'utiliser la loi de poisson. Il y a un exercice comme ça dan sles annales, avec n = 20. Il y a un item qui propose 0,15 (avec la formule 3/n) qui est faux puisque la formule 3/n n'est pas valide, et un item qui propose 0,14 qui est vrai (1-0,05^(1/20)=0,14).
