Mouvement parabolique physique

[Eva03s]

Bonjour ,
J’espère que ça va ! J’aurais une petite question par rapport à l’ed de physique 2, dans la partie corrigée je ne comprends pas pourquoi la vitesse possède une exponentielle (-t/« tho ») dans ses composantes. Auriez-vous la réponse s’il vous plaît ?
Merci beaucoup

[Eva03s]

Bonjour ,
J’espère que ça va ! J’aurais une petite question par rapport à l’ed de physique 2, dans la partie corrigée je ne comprends pas pourquoi la vitesse possède une exponentielle (-t/« tho ») dans ses composantes. Auriez-vous la réponse s’il vous plaît ?
Merci beaucoup

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[vajunice]

Je relance, moi non plus je ne comprends pas d'où ça sort.
Est-ce que quelqu'un aurait une correction plus détaillée pour cet exercice ?

Merci !!

[zineddine]

D'abord merci d'avoir relancé , sinon je n'aurais pas vu la question .
Dans cette exercice , on va utiliser la 2eme lois de newton
\(\Sigma \vec{F} = m \vec{a}\)
\( m \vec{g} - \lambda \vec{v} = m \vec{a} \)
ensuite , on sait que l'accélération est la dérivée de la vitesse , on peut écrire donc :
\( m \vec{g} - \lambda \vec{v} = m \frac{d\vec{v}}{dt} \) et si je réarrange :
\( \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{\lambda}{m} \vec{v} - \vec{g} = 0 \)
on projette sur les axes \(\vec{e_x} et \vec{e_z} \) on aura :
sur l'axe \(\vec{e_x}\) : \( -\lambda v_x = m \frac{d{v_x}}{dt} \)
sur l'axe \(\vec{e_z}\) : \( -mg -\lambda v_z = m \frac{d{v_z}}{dt} \)

je commence par l'axe \(e_z\) ( arbitrairement ) ,je réordonne l'équation et j'ai :
\(\vec{e_z}\) : \( \frac{d{v_z}}{dt} +\frac{\lambda}{m} v_z -g = 0\)

On a donc une équation différentielle du type :
\(y' + ay + b = 0 \) \(y' \) est la dérivée de \(y \)
la solution de cette équation est du type :
\(y = K e^{a.x} - \frac{b}{a}\)
bien évidemment , ici notre \(y\) c'est la vitesse selon l'axe z , la variable \(x\) c'est le temps
si on remplace avec les données de notre exo on aura :
\( v_z = K e^{\frac{\lambda}{m} t } - \frac{b}{a}\) = \( K e^{\frac{\lambda}{m} t } - \frac{mg}{\lambda}\)
il faut garder en tête que :\(\lambda = \frac{1}{\tau} \) et \( m = 1kg[/latex , on peut donc juste ignorer la masse ( faites attention , si il y'avais un calcul ignorer la masse vous oblige de tout convertir en unités internationales )
on tombe donc sur :
\( v_z = K e^{\frac{\lambda}{m} t } - \tau g\)
enfin pour se débarrasser du facteur K , on reviens au données initiales , on remplace le temps par 0 dans cette dernière équation , on trouve :
\( v_{z0} = K - \tau g\) et avec projection on sait que : \( v_{z0} = v_0 sin(\alpha)\)( je vous renvois a la sech 2)( je suis pas sure du numéro de la sech mais c'est l'exo du ballon de basket lancée)

on a donc :
\( k = v_0 sin(\alpha) + \tau g\)
si on remplace dans l'équation de \(v_z\) vous trouverez les résultat voulu .
il faut faire la même chose pour l'équation de \(v_x \) , sauf que ce n'est pas le même type d'équation différentiel , je vous laisse revoir votre cour
et pour trouver \(v(t) \) n'oubliez pas que \(v^2(t) = v^2_{x} + v^2_z\)\)

[vajunice]

Merci beaucoup pour la super réponse !!!