Dérivation / Primitive en coordonnée polaire

[MattGic]

Bonjour,
dans l'exercice corrigé de notre ED (voir photo), à la question 3)2)2), on nous demande les équations temporelles du mouvements ρ(t) et φ(t). Sachant qu'on a l'expression de la vitesse, il suffit de trouver la primitive suivant ρ et suivant φ. Mais je dois être trop cartésien dans mes primitives et ne comprends pas pourquoi on obtient φ(t)= (-a/(λ*ρ0) )exp(−λt) et plus particulièrement le ρ0 au dénominateur.
Si je primitive v(t) = a exp(−λt)eφ, je trouve φ(t)= (-a/λ)*exp(-λt)eφ + ρ0eρ
(Exponentielle = exp // // eρ ou eφ = vecteur p ou φ

En fait, mon problème est toujours le même et plus général, je ne comprends pas comment on dérive et on primitive en coordonnées autres que cartésiennes.
Meeeeeeerci énormément au tuteur qui aura pris de son temps pour me répondre !!

ED exercice physique.png

[zineddine]

bonsoir , en coordonnées polaire on a :
\(\vec{V}(t) = \rho^{.} \vec{e_ {\rho}} + \rho \phi^. \vec{e_{\phi}}\)
dans l'exo on nous donne :
\(\vec{v}(t) = a exp(-\lambda t ) \vec{e_{\phi}}\)

Alors si on associe la formule théorique et les données de l'exo on aura :
\(\rho \phi^. \vec{e_{\phi}} = a exp(-\lambda t ) \vec{e_{\phi}}\)
\(\rho \phi^. = a exp(-\lambda t ) \)
\(\phi^. = \frac{a exp(-\lambda t )}{\rho_0}\)
la on a juste a intégrer par rapport au temps ( on oublie pas que \(a \)et \(\rho_0\) sont des constantes )on trouvera donc :
\(\phi = - \frac{a}{\lambda \rho_0} e^{-\lambda t}\)
j'espère que c'est plus clair ?

[MattGic]

bonsoir , en coordonnées polaire on a :
\(\vec{V}(t) = \rho^{.} \vec{e_ {\rho}} + \rho \phi^. \vec{e_{\phi}}\)
dans l'exo on nous donne :
\(\vec{v}(t) = a exp(-\lambda t ) \vec{e_{\phi}}\)

Alors si on associe la formule théorique et les données de l'exo on aura :
\(\rho \phi^. \vec{e_{\phi}} = a exp(-\lambda t ) \vec{e_{\phi}}\)
\(\rho \phi^. = a exp(-\lambda t ) \)
\(\phi^. = \frac{a exp(-\lambda t )}{\rho_0}\)
la on a juste a intégrer par rapport au temps ( on oublie pas que \(a \)et \(\rho_0\) sont des constantes )on trouvera donc :
\(\phi = - \frac{a}{\lambda \rho_0} e^{-\lambda t}\)
j'espère que c'est plus clair ?

Merci beaucoup, c'est bien plus clair !