zozoo a écrit : ↑14 février 2021, 20:10
salut! je voudrais savoir comment on est passé de l'equation avec la derivée a l'equation v(t) je ne comprend pas très bien cette histoire d'equation differentielle de premier ordre avec second membre
Si quelqu’un pouvait m'expliquer comment on fait pour se debarasser de la derivée et si c'est toujours au programme d'ailleurs?
Merci a vous
Salut,
Oui c'est bien une notion au programme, un peu de maths pour se faire plaisir. Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction et sa dérivée de la forme
\(af+bf-=c\). Dans ce cas, on cherche à déterminer la fonction
\(f\) et on sait (il faut juste le savoir) que la solution à cette équation est
\(f(x)=Ke^{-\frac abx}+\frac ca\) avec
\(K\) une constante. On procède par identification dans le cas de la vitesse on a l'équation
\(\frac{dv}{dt}+\frac{6\pi\eta \pi r}{\rho V}v=\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}\) :
- \(b=\frac{6\pi\eta \pi r}{\rho V}\)
- \(c=\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}\)
Donc on remplace les lettres et on obtient
\(v(t)=Ke^{\frac{1}{\frac{6\pi\eta \pi r}{\rho V}}t}+\frac{\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}}{1}=Ke^{{\frac{\rho V}{6\pi\eta \pi r}}t}+\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}\), avec
\(K\) que l'on détermine avec les conditions initiales :
\(v(0)=0\), donc :
\(K=-\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}\), donc :
\(v(t)=-\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}e^{{\frac{\rho V}{6\pi\eta \pi r}}t}+\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}=\boxed {\frac{qE+Vg(\rho-\rho_0)}{\rho V}\left(1-e^{{\frac{\rho V}{6\pi\eta \pi r}}t}\right)}\)
