QCM 4, ED n°1

[julype]

Bonsoir !

Pour cette question, je ne comprends pas pourquoi nous utilisions la loi de Jurin. Est-ce parce que cette formule sert surtout à retrouver une hauteur ?

Par ailleurs, on cherche une différence. Comment sommes-nous en venus à faire un rapport ? C’est-à-dire que la valeur initiale sera toujours divisée par une valeur finale pour trouver la différence ?

Étant donné que je saisissais pas du tout cet exercice avec la loi de Jurin, j’ai essayé de le résoudre d’une autre façon. La valeur est approximative si ce n’est que l’unité ne convient pas du tout ! J’ai beau refaire et refaire, je ne vois pas pourquoi ça ne marche pas

Merci d’avance à celle ou celui qui pourra m’éclairer !

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[Markgraf]

Salut,

Ça fait un bout de temps que la question est là, mais je vais quand même tâcher d'y répondre. Premièrement, pour répondre aux questions davantage théoriques, on utilise ici la loi de Jurin parce qu'on nous parle précisément de capillarité dans l'énoncé. On connait le mouillage et la tension superficielle de l'eau (on y a accès, en tout cas, si on en a besoin, \(\gamma = 7,2.10^{-2} N.m^-1\)) : cette formule est donc toute trouvée pour faciliter les calculs. Si on fait un rapport, c'est surtout pour éliminer un maximum de données, car selon l'énoncé, l'unique différence réside dans la section et qu'on a relativement peu de valeurs. Par ailleurs, on connait un rapport de section, qui te permet de t'aiguiller un peu sur cette voie. Si on avait fait une différence, on se serait retrouvés avec une équation du genre \(h_2-h_1=\frac{2\gamma cos \theta _2}{r_2 \rho _2 g} - \frac{2\gamma cos \theta _1}{r_1 \rho _1 g}\). Là on pose \(S= \pi r^2\) donc \(r = \sqrt{ \frac{S}{\pi}}\) et \(r_2 = \sqrt{ \frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{ \frac{2S_1}{\pi}} \) et \(r_1 = \sqrt{ \frac{S_1}{\pi}}\).
On a alors :
\(h_2-h_1=\frac{2\gamma cos \theta _2}{\sqrt{ \frac{2S_1}{\pi}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma cos \theta _1}{\sqrt{ \frac{S_1}{\pi}} \rho _1 g} = \frac{2\gamma \sqrt{\pi}}{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma \sqrt{\pi}}{\sqrt{ {S_1}} \rho _1 g} = \frac{2\gamma \sqrt{\pi}}{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma \sqrt{2 \pi}}{\sqrt{ 2{S_1}} \rho _1 g}\)
\(h_2-h_1= \frac{2\gamma \sqrt{\pi} - 2\gamma \sqrt{2 \pi} }{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g} = \frac{2\gamma ( \sqrt{\pi} - \sqrt{2 \pi}) }{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g}\).

c'était vachement long à rédiger

Et là, les problèmes : on n'a pas la valeur de \(S_1\). Toute une démonstration tombée à l'eau. Moralité : faites des rapports (mais protégez vous quand même c'est important).

Enfin, pour en venir à ta résolution, je dois dire que j'ai mis un bout de temps avant de comprendre ce que tu avais essayé de faire. C'était un petit peu tatillon de la fonder sur une conservation de volume, même si tu n'as vraiment pas tort à ce sujet. J'ai essayé également de le résoudre à ta façon, et la première chose que j'ai pu constater et qui aurait pu mener à un mauvais résultat, c'est que tu écris \(V = S \times h = \pi r^2 h = \pi (\frac{d}{2}) ^2 h = 4 \pi d^2 h \) sachant que la dernière partie est fausse, attention, c'est plutôt \( V = \frac{\pi}{4} d^2 h\). Ce faisant on trouve quelque chose de l'ordre de\( 4,0.10^{-8} m^3\) et en partant du postulat que \(V_1 = V_2\), on a \(V_1 = 2 S_1 \times h_2\) puis \(\frac{V_1}{2 S_1} = h_2\). Avec ça, j'ai pu trouver une valeur d'à peu près \(6,49.10^{-3} m\) et on se retrouvait à la fin avec \(1,3 - 0,649 \approx 0,651 cm\). Ça reste relativement peu convaincant d'un point de vue réponse, mais ça permet au moins de résoudre quelques soucis. Je dois avouer que je ne saurais pas t'expliquer précisément pourquoi ça pêche avec une résolution pareille, si ce n'est que le professeur ne voulait pas t'orienter sur celle-ci !

[Markgraf]

Bonjour, je suis débile, on connaît S1 puisque c'est pi (2.10^-3/2)^2 merci

[Markgraf]

Salut,

Ça fait un bout de temps que la question est là, mais je vais quand même tâcher d'y répondre. Premièrement, pour répondre aux questions davantage théoriques, on utilise ici la loi de Jurin parce qu'on nous parle précisément de capillarité dans l'énoncé. On connait le mouillage et la tension superficielle de l'eau (on y a accès, en tout cas, si on en a besoin, \(\gamma = 7,2.10^{-2} N.m^-1\)) : cette formule est donc toute trouvée pour faciliter les calculs. Si on fait un rapport, c'est surtout pour éliminer un maximum de données, car selon l'énoncé, l'unique différence réside dans la section et qu'on a relativement peu de valeurs. Par ailleurs, on connait un rapport de section, qui te permet de t'aiguiller un peu sur cette voie. Si on avait fait une différence, on se serait retrouvés avec une équation du genre \(h_2-h_1=\frac{2\gamma cos \theta _2}{r_2 \rho _2 g} - \frac{2\gamma cos \theta _1}{r_1 \rho _1 g}\). Là on pose \(S= \pi r^2\) donc \(r = \sqrt{ \frac{S}{\pi}}\) et \(r_2 = \sqrt{ \frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{ \frac{2S_1}{\pi}} \) et \(r_1 = \sqrt{ \frac{S_1}{\pi}}\).
On a alors :
\(h_2-h_1=\frac{2\gamma cos \theta _2}{\sqrt{ \frac{2S_1}{\pi}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma cos \theta _1}{\sqrt{ \frac{S_1}{\pi}} \rho _1 g} = \frac{2\gamma \sqrt{\pi}}{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma \sqrt{\pi}}{\sqrt{ {S_1}} \rho _1 g} = \frac{2\gamma \sqrt{\pi}}{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma \sqrt{2 \pi}}{\sqrt{ 2{S_1}} \rho _1 g}\)
\(h_2-h_1= \frac{2\gamma \sqrt{\pi} - 2\gamma \sqrt{2 \pi} }{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g} = \frac{2\gamma ( \sqrt{\pi} - \sqrt{2 \pi}) }{\sqrt{ {2S_1}} \rho _2 g}\).

c'était vachement long à rédiger

Et là, les problèmes : on n'a pas la valeur de \(S_1\). Toute une démonstration tombée à l'eau. Moralité : faites des rapports (mais protégez vous quand même c'est important).

Bon. Pour en revenir ici puisque je suis toujours aussi débile nom de dieu. Donc on reprend l'équation qu'on avait trouvée, mais je vais la changer un peu pour me faciliter la tâche et tout détailler pour pas faire une erreur aussi ignoble une deuxième fois
\(h_2-h_1=\frac{2\gamma cos \theta _2}{\sqrt{ \frac{2S_1}{\pi}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma cos \theta _1}{\sqrt{ \frac{S_1}{\pi}} \rho _1 g}\)
\(h_2-h_1=\frac{2\gamma cos \theta _2}{\sqrt{ \frac{2 \pi \frac{d}{2}^2}{\pi}} \rho _2 g} - \frac{2\gamma cos \theta _1}{\sqrt{ \frac{ \pi \frac{d}{2}^2}{\pi}} \rho _1 g} \)

Bon on est sur le même liquide, donc \(cos \theta _1 = cos \theta_2\), \(\rho_1 = \rho_2\) et \(\gamma _1 = \gamma_2\). Formule un peu barbare, mais moins on y retouche moins on fait d'erreur. Alors, on passe à la calculatrice avec \(\rho = 1000 kg.m^-3\), \(g=9,81m.s^{-2}\), \(\gamma =7,2.10^{-2}N.m^-1\). On obtient \(h_2-h_1 = -4,299.10^{-3} m\). On cherche \(h_2\) donc on isole, \(h_2 = 1,3 - 4,299.10^{-1} \approx 0,9 cm\).

Pfiou. Du coup, je reviens sur ce que je disais, c'est possible, à condition de savoir ce qu'on fait . Mais comme je l'ai montré (à mon grand dam) ça prend beaucoup trop de temps.

[✿ Mirumi ✿]

Merci @Markgraf!! Trop beau ce lateX waw