Formule de la variance

[Hb95]

Bonsoir , j'ai vu dans le cours ( et dans l'ed) qu'il y avait plusieurs formules pour la variance par exemple on a celle ci :
Var(X)=E(X^2)-E^2(X) et aussi celle ci : 1/n-1(Somme des xi-m^2) (désolé je ne sait pas faire les symboles somme et puissance au clavier ), seulement j'en ai vu encore bien d'autre pour les différentes variables (moyenne , pourcentage ...) mais je vous avoue que je suis perdu parmi toutes ces formules . Pourrait-on m'expliquer quelles sont les différences entre elles svp ? Merci d'avance pour l'aide!

[le.roi.singe]

Coucou,

Selon moi, il y a une formule pour la variance observée et une pour la variance vraie/théorique

[Nayk]

Bonsoir , j'ai vu dans le cours ( et dans l'ed) qu'il y avait plusieurs formules pour la variance par exemple on a celle ci :
Var(X)=E(X^2)-E^2(X) et aussi celle ci : 1/n-1(Somme des xi-m^2) (désolé je ne sait pas faire les symboles somme et puissance au clavier ), seulement j'en ai vu encore bien d'autre pour les différentes variables (moyenne , pourcentage ...) mais je vous avoue que je suis perdu parmi toutes ces formules . Pourrait-on m'expliquer quelles sont les différences entre elles svp ? Merci d'avance pour l'aide!

Salut !

En effet c'est ce que dit @le.roi.singe, et il faut faire TRES attention aux différentes notions. Donc voici un petit récapitulatif :

• Les lettre grecques \(\mu,\ \sigma,\ \pi\) renvoie à des valeurs théoriques/vraies, qui caractérisent une variable aléatoire : c'ets donc la même valeur pour toute la population, puisque ça ne concerne pas l'échantilon auqule on s'interesse.

• Des lettres minuscules en alphabet latin correspondent à ces lettres grecques : \(m,\ s,\ p\) et représentent un paramètre tel qu'on peut l'observer dans un échantillon, et cette valeur est différente d'un échantillon à l'autre

• Les lettres majuscules comme \(M,\ S,\ P\) représentent la variable aléatoire associée aux paramètres que l'on étudie.

Par exemple si on s'intéresse aux droitiers, et qu'on note \(X\) la variable aléatoire dans un échantillon :

• La variable aléatoire \(P\) correspond à l'ensemble des valeurs que peut prendre la proportion (entre 0 et 1) et dont la proportion théorique est par exemple de \(\pi =0,8\). La proportion que l'on observe dans un échantillon, se note \(p\) et est quant à elle différente d'un échantillon, est peut être de 0,6 ou bien 0,85 par exemple

• De la même façon la moyenne du nombre de droitiers sur un certain nombre d'échantillons se note \(\mu\) et est aussi appelée espérance, et la distribution de la variable aléatoire \(M\) peut suivre une loi Normale, et dans ce cas, la moyenne observée est notée \(m\)

• Enfin, on peut aussi parler de l'écart type, celui observé est noté \(s\), sa VA est \(S\) et sa valeur théorique est \(\sigma\).

Donc pour venir plus précisément à ta question, la formule de la variance (sa valeur théorique) est \(Var=E(X^2)-E^2(X)\), tandis que la valeur observée est donnée par la grosse formule avec \(s^2=\frac1{n-1}(...)\)

J'espère que c'est plus clair, et c'est super important donc hésite pas !

[Hb95]

Ouiii merci c'est un peu plus clair ! Mais j'ai quand même quelques questions , d'abord pour être sur : on a des valeurs observées m , s et p et dont leur variable aléatoire sont respectivement M , S et P ? Du coup si c'est vrai ce que j'ai dit j'ai une question : à quoi servent ces variables? Je pense que ca a un lien avec l'intervalle de pari etc mais je ne comprend pas ce qu'elle representent concrètement , pour moi une variable renvoie a quelque chose mais ici je ne vois pas de différence entre p et P par exemple ? Merci d'être là et pour tes réponses !!

[Nayk]

Ouiii merci c'est un peu plus clair ! Mais j'ai quand même quelques questions , d'abord pour être sur : on a des valeurs observées m , s et p et dont leur variable aléatoire sont respectivement M , S et P ? Du coup si c'est vrai ce que j'ai dit j'ai une question : à quoi servent ces variables? Je pense que ca a un lien avec l'intervalle de pari etc mais je ne comprend pas ce qu'elle representent concrètement , pour moi une variable renvoie a quelque chose mais ici je ne vois pas de différence entre p et P par exemple ? Merci d'être là et pour tes réponses !!

C'est bien ca pour ta première question : on a une valeur théorique (lettre grecque), et on peut observer ce qui est associé à cette valeur (observation = lettre minuscules), et la fréquence de ces observations se répartit selon une certaine distribution et l'ensemble des résultats possibles est appelé variable aléatoire.

En gros, le nombre de garcons dans un échantillon peut être compté par une variable aléatoire, tout comme la moyenne de ce nombre, ou bien l'écart-type. Et ensuite, avec certaines propriétés, on peut calculer les probabilités selon la valeur de cette variable aléatoire (ex: on peut calculer \(P(X<20)\)).

Donc oui, tu peux calculer par exemple des intervalles de pari qui sont liés aux probas (pour rappel un intervalle de pari à 90% revient à calculer \(a\) et \(b\) tels que \(P(a<X<b)=90\%\))

Pour te faire un analogie (très très approximative), une variable aléatoire c'est un peu comme une fonction : tu prends un nombre \(x\) et tu lui associes un nombre \(f(x)\). Et bien la, tu prends un nombre \(a\), et tu lui associes une probabilité \(P(X<a)\) que le nombre observé soit inférieur à \(a\).

Mais tout ca c'est assez théorique et compliqué a expliquer...

[Hb95]

D'accord merci quand même !! (j'ai encore un peu du mal à comprendre )

[Riette]

Salut !
Désolée on te répond super en retard
Je vais essayer de te réexpliquer en espérant que tu comprennes un peu mieux :

Pour reprendre ton exemple entre p et P (ça marche aussi pour m et M ou s et S) :
- p sera la valeur qu'on choisie d'utiliser (pour calculer un paramètre, un test, etc) mais elle représente une valeur observée, donc valide pour un échantillon donné, mais 0 assurance pour le reste de la population ou un autre échantillon

- P est une variable, elle ne sera pas fixe comme p. Comme n'importe quelle variable on va chercher la proba qu'elle soit dans un intervalle, si elle suit une loi particulière... (par exemple P peut représenter la variation de p entre différents échantillons)

Voilà voilà ! J'espère que c'est un peu plus clair avec ça, sinon tu peux évidemment nous redemander (on répondra plus vite promis ! ) et t'inquiètes pas trop là dessus tant que tu sais utiliser les formules qui vont avec ça le fait !
Bon courage en tout cas !!