question diapo
Posté : 06 janvier 2021, 22:12
Bonjour j'ai besoin d'aide sur la compréhension de cette diapo du prof , je ne comprend pas le lien entre ces formule et la densité de probabilité , si quelqu'un peut m'expliquer svp? Merci
Salut !
Une densité de probabilité \(f\) est une fonction dont l'aire sous la courbe est égale à 1, et la probabilité pour qu'une VA \(X\) se situe dans un intervalle \([a\ ;\ b]\) est l'aire sous la courbe de \(f\) entre \([a\) et \(b\) :
\(p(a<X<b)=\displaystyle{\int_a^bf(x).dx}\)
Intégrer revient à utiliser la primitive \(F\) :
\(p(a<X<b)=\displaystyle{\left[F(x)\right]^b_a=F(a)-F(b)}\)
Dans l'exemple que tu as montré, la spécificité est \(p(-\infty <X<M)\), ce qui donne \(p(-\infty <X<M)=F(M)-F(-\infty)\) (la notation \(F(-\infty)\) n'est pas correcte mais c'est pour comprendre). Or on sait que l'aire sous la courbe, lorsque \(x\) est très petit et proche de \(-\infty\) est proche de \(0\), donc \(F(-\infty)=0\) et donc \(Sp=p(-\infty <X<M)=F(M)\)De la même manière pour la sensitibilté, \(Se=p(M<X<+\infty)=F(+\infty)-F(M)\). Comme lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) l'aire sous la courbe vaut 1, alors \(F(+\infty)=1\), donc \(Se=1-F(M)\).
De manière générale (même si tu n'as pas compris ce que je viens de raconter, ce qui suite suffit
), il faut retenir que pour une variable aléatoire \(X\) qui a une densité de probabilité \(f(x)\) (de primitive \(F(x)\)) :
\(\boxed{P(X<a)=F(a)}\ \ \mbox{et}\ \ \boxed{P(X>a)=1-F(a)}\ \ \mbox{et}\ \ \boxed{P(a<X<b)=F(b)-F(a)}\)