Hb95 a écrit : ↑06 janvier 2021, 22:12
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Bonjour j'ai besoin d'aide sur la compréhension de cette diapo du prof , je ne comprend pas le lien entre ces formule et la densité de probabilité , si quelqu'un peut m'expliquer svp? Merci
Salut !
Une densité de probabilité
\(f\) est une fonction dont l'aire sous la courbe est égale à 1, et la probabilité pour qu'une VA
\(X\) se situe dans un intervalle
\([a\ ;\ b]\) est l'aire sous la courbe de
\(f\) entre
\([a\) et
\(b\) :
\(p(a<X<b)=\displaystyle{\int_a^bf(x).dx}\)
Intégrer revient à utiliser la primitive
\(F\) :
\(p(a<X<b)=\displaystyle{\left[F(x)\right]^b_a=F(a)-F(b)}\)
Dans l'exemple que tu as montré, la spécificité est
\(p(-\infty <X<M)\), ce qui donne
\(p(-\infty <X<M)=F(M)-F(-\infty)\) (la notation
\(F(-\infty)\) n'est pas correcte mais c'est pour comprendre). Or on sait que l'aire sous la courbe, lorsque
\(x\) est très petit et proche de
\(-\infty\) est proche de
\(0\), donc
\(F(-\infty)=0\) et donc
\(Sp=p(-\infty <X<M)=F(M)\)
De la même manière pour la sensitibilté,
\(Se=p(M<X<+\infty)=F(+\infty)-F(M)\). Comme lorsque
\(x\) tend vers
\(+\infty\) l'aire sous la courbe vaut 1, alors
\(F(+\infty)=1\), donc
\(Se=1-F(M)\).
De manière générale (même si tu n'as pas compris ce que je viens de raconter, ce qui suite suffit
), il faut retenir que pour une variable aléatoire
\(X\) qui a une densité de probabilité
\(f(x)\) (de primitive
\(F(x)\)) :
\(\boxed{P(X<a)=F(a)}\ \ \mbox{et}\ \ \boxed{P(X>a)=1-F(a)}\ \ \mbox{et}\ \ \boxed{P(a<X<b)=F(b)-F(a)}\)
